ECUACIONES

Aprendizajes esperados

• Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

Orientaciones didácticas

De la primaria a la secundaria

En primaria, los alumnos tienen un primer acercamiento a las ecuaciones cuando resuelven problemas de valor faltante, aunque en ese nivel escolar no se use el término ecuación. En el 1er grado de secundaria se introduce la solución de problemas de diversos contextos mediante la solución de ecuaciones lineales. Se trata de pasar de la búsqueda de una solución mediante la aplicación de estrategias intuitivas o prealgebraicas a la representación de la situación problemática por medio de una ecuación, en la que hay una literal como incógnita, la cual los alumnos deben reconocer y resolver mediante la aplicación de reglas algebraicas de transformación para manipular la literal.

Dos procedimientos

Este aprendizaje esperado integra dos procedimientos centrales: el análisis y la modelación de situaciones problemáticas y la resolución algebraica de ecuaciones lineales. Para que tal integración tenga lugar en el aprendizaje, se propone lo siguiente:

• Introducir la noción y la simbolización algebraica de ecuación lineal por medio del planteamiento de un problema en un contexto nuevo para los estudiantes, de manera que el análisis del enunciado les permita 1) identificar en el enunciado tanto las cantidades conocidas como las desconocidas y 2) construir una ecuación que modele o represente las relaciones entre dichas cantidades, así como interpretar la igualdad como la equivalencia entre las expresiones encontradas. Este procedimiento implica resolver la ecuación construida y, por lo tanto, conocer las técnicas de manipulación de la literal para encontrar su solución. Se sugiere que en la etapa 1) los estudiantes trabajen en equipos y, mediante una discusión grupal, se les guíe, a partir del resultado de sus análisis, hacia una visión común para la elaboración de la ecuación en la etapa 2).
• Iniciar a los estudiantes en la resolución algebraica de ecuaciones lineales mediante la manipulación de la literal aplicando sucesivamente operaciones inversas en ecuaciones sencillas (del tipo Ax + B = C) y mediante la aplicación de las propiedades de la igualdad (puede ser empleando la metáfora de la balanza) en ecuaciones más generales (del tipo Ax + B = Cx + D, donde A, B, C y D son números enteros, decimales o fraccionarios). Recuerde que es importante que los alumnos completen el proceso comprobando el resultado por medio de la sustitución numérica del valor de la incógnita en la ecuación. La etapa de comprobación es propicia para promover en ellos la perseverancia, revisando sus procesos de resolución (en el caso de que no hayan resuelto la ecuación de manera exitosa) hasta encontrar una solución válida.
• Introducir actividades de traducción del lenguaje verbal al simbólico y viceversa, en el contexto de problemas relacionados con ecuaciones lineales.
• Además de solicitar a los alumnos que representen diversas situaciones con ecuaciones lineales, pídales que las resuelvan mediante la manipulación de la literal utilizando las reglas de transformación basadas en operaciones inversas o en las propiedades de la igualdad para, finalmente, encontrar el valor de la incógnita y remitir el resultado de la ecuación a la situación representada. Es importante que las situaciones problemáticas y las ecuaciones lineales derivadas de su análisis se presenten de manera gradual, a partir de casos muy sencillos y hasta llegar a otros más complejos que requieran, por ejemplo, de dividir el problema en otros más simples o que se representen con ecuaciones de varios pasos y con diversas ocurrencias de la literal como incógnita. Para que la actividad de representación algebraica cobre sentido para los alumnos es indispensable que estos tengan un buen dominio de las técnicas de resolución de las ecuaciones lineales.
• Introducir reglas más avanzadas de transformación de ecuaciones, como aquellas que permiten eliminar paréntesis (distribución de la multiplicación respecto a la suma), reducir términos semejantes o conmutar términos en los que las literales se interpretan como números generales [este es el caso de la distribución de la multiplicación en la suma de términos: a(b+c) = ab + ac]. El progreso en la destreza de resolver ecuaciones lineales permitirá a los alumnos representar y resolver problemas en los que están presentes relaciones cada vez más complejas entre sus elementos (cantidades conocidas e incógnitas).

Diferencias con la aritmética

En la transición de la aritmética impartida en la primaria al álgebra que se enseña en la secundaria hay que tener en cuenta lo siguiente:

• La resolución de ecuaciones requiere avanzar de la noción de igualdad como signo que conecta una cadena de operaciones de números conocidos con el resultado de ejecutar esas operaciones hacia la noción de igualdad como equivalencia entre expresiones tanto algebraicas como numéricas cuyo signo conecta una expresión que involucra una literal que puede ser interpretada como la incógnita con un número dado, o bien, que conecta dos expresiones que involucran a esta última.
• La manipulación de las literales en el proceso de resolución de ecuaciones no es una mera extensión de la operatividad con números. La primera implica operar con términos que incluyen a la literal que representa la cantidad desconocida, lo cual involucra reglas diferentes a las de operaciones entre números, entre ellas se encuentran la reducción de términos semejantes y la aceptación de operaciones suspendidas, como 5 x + 2 o 10 – 32x, en las que la literal se interpreta como un número general.
• Las nociones de incógnita y de valor faltante se refieren a una cantidad desconocida, sin embargo, la primera de ellas, a diferencia de la segunda, se simboliza con una literal y el procedimiento para encontrar su valor se basa en la aplicación de reglas algebraicas de transformación de una ecuación para manipular la literal y encontrar el valor de la incógnita que satisface la ecuación.

Sugerencias de evaluación

El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.

Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.

Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.

Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.

La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.

Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:

1. Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
2. Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
3. Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.

Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.

En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.

Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.

En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:

1. De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
2. De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
3. De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.

Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.