PROPORCIONALIDAD

Aprendizajes esperados

• Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).
• Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, de tanto por ciento y de la cantidad base.

Orientaciones didácticas

En primer grado de secundaria, los alumnos deben seguir reafirmando los procedimientos para resolver problemas de comparación de razones y de valor faltante en situaciones de variación, los cuales empezaron a estudiar en la primaria: conservación de las razones internas, valor unitario, y factor constante de proporcionalidad (se sugiere consultar la orientación didáctica correspondiente para 6° grado). Además, ahora deben identificar y utilizar constantes de proporcionalidad que son fracciones o decimales, lo cual representa un paso difícil, pero importante. Situaciones como "Un lado de la figura A que mide 5 cm debe medir 3 cm en una copia a escala en A'. ¿Cuánto debe medir en A' un lado que en A mide 4 cm?" enfrentan a los alumnos con la novedad de multiplicaciones que ya no solo se interpretan como iterar varias veces una cantidad y que, incluso, pueden empequeñecer en lugar de agrandar. Comprender lo anterior implica reconstruir la noción de multiplicación y requiere de numerosas situaciones que pongan en evidencia los errores, sobre todo el arraigado error aditivo (pensar que, por ejemplo, las medidas de A' se obtienen restando 2 cm a las de A). Por esta razón, el estudio de la proporcionalidad en este grado debe estar integrado con el de la multiplicación de fracciones. Los dos aspectos se observan prácticamente con las mismas situaciones (consultar la orientación didáctica correspondiente a "Multiplicación y división").

Cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base

En la primaria, los estudiantes empezaron a usar el tanto por ciento bajo la forma de una razón expresada con dos números "n por cada 100" y, en ocasiones, expresaron este con una fracción. En este grado, además de reafirmar lo anterior, aprenderán a resolver problemas más complejos y a expresar el tanto por ciento mediante números con punto decimal.

Cuando se aplica un tanto por ciento a una cantidad entran en juego tres datos: el tanto por ciento (o tasa), la cantidad inicial (o cantidad base) a la que se aplica el tanto por ciento y la cantidad final que resulta (el porcentaje). Al cambiar de lugar el término desconocido se obtienen los tres tipos de problemas que deben estudiarse. Algunas recomendaciones generales para resolver dichos tipos de problemas son las siguientes:

• Para el cálculo mental exacto y aproximado, utilizar 10% y 1% como base. También, ocasionalmente, utilizar la calculadora.
• Trabajar con situaciones en las que haya variación proporcional y la constante se exprese con un porcentaje.
• Trabajar con situaciones de la vida cotidiana, tales como el cálculo del IVA o la aplicación de descuentos en tiendas, y usar los porcentajes como herramienta para el tratamiento de datos (en particular, usarlos en las gráficas circulares).
• Plantear situaciones en las que el tanto por ciento sea a veces mayor que 100, para lo cual se necesita recurrir a relaciones del tipo parte-parte, por ejemplo, "el precio actual es 120% del precio anterior".
• Alternar diferentes expresiones del porcentaje: dos números "n por cada 100", fracción y número con punto decimal.
• Aplicar porcentajes sencillos (
  12
  , 
  14
  , 
  34
  , 
  110
  , 
  15
  ) a superficies, pues estas constituyen una representación que permite identificar de manera clara las relaciones parte-todo.

Uso de TIC

Algunos recursos que puede encontrar en Internet son los siguientes:

• "¿Porcentajes?" y "¿Descuentos y más descuentos?", en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 50-52.
• "Explosión demográfica" e "Inflación contra salario", en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 98-102.
• "Análisis de textos" en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 142-143. (Con este material, los alumnos podrán establecer vínculos entre representaciones numéricas, simbólicas y gráficas en el contexto de la cuantificación de letras que aparecen en un texto).

Sugerencias de evaluación

El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.

Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.

Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.

Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.

La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.

Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:

1. Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
2. Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
3. Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.

Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.

En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.

Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.

En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:

1. De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
2. De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
3. De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.

Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.