Aprendizajes esperados
- Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordena fracciones y números decimales.
Orientaciones didácticas
En 5° grado, los alumnos ordenaron fracciones con denominadores múltiplos. En 6° grado ordenaron fracciones y números decimales. En este grado, los alumnos aprenderán a:
- Distinguir fracciones decimales o equivalentes a decimales de fracciones que no lo son.
- Expresar con notación decimal, fracciones que no tienen denominador potencia de 10, pero que sí son equivalentes a una fracción decimal, por ejemplo, 25=410= 0.4.
- Expresar fracciones no decimales, como 13, mediante aproximaciones con números decimales finitos, por ejemplo, 0.3 y 0.33, y mediante números decimales periódicos: 0.333…
38
=
375100
, por lo que su representación como número decimal tiene un número finito de cifras en la parte decimal.Las fracciones que no son decimales, como
13
, es decir, para las que no existe una fracción equivalente con denominador potencia de 10, solamente se expresan con números decimales en los que la parte decimal es infinita y siempre tienen un periodo (números decimales periódicos). No se espera que los alumnos lleguen a esta caracterización, pero sí que sean capaces de distinguir el periodo para el caso de estas fracciones.
Los alumnos deberán distinguir fracciones decimales, o las equivalentes a una decimal, de aquellas que no lo son, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción. Para ello inicie con un problema como el siguiente:
Si se divide un listón A de un metro de longitud en seis partes iguales y otro listón, el B, también de un metro, en ocho partes iguales, ¿cuánto mide cada parte de ambos listones?
Pida a los alumnos que expresen las medidas en metros, con notación decimal y con fracciones. Asimismo, solicíteles que verifiquen si al sumar las medidas de los seis pedazos de A y las de los ocho pedazos de B obtienen un metro.
Lo que se pretende es que los alumnos deduzcan que en algunas divisiones, en cierto momento el residuo es cero y, por lo tanto, el cociente tiene un número finito de cifras decimales, tal es el caso de 1 ÷ 8 = 0.125. Por lo tanto,
18
es equivalente a una fracción decimal
1251000
.
Otras divisiones "no terminan nunca" y en el cociente puede haber un número infinito de cifras, por ejemplo, 1 ÷ 6 = 0.1666. El grupo de cifras que se repite se llama periodo. Se suele representar mediante una raya sobre el grupo de cifras que se repite, por ejemplo, 0.16. Cuando el cociente de las divisiones que no terminan se expresa solamente con algunas cifras decimales se obtiene una aproximación.
El orden de los números decimales constituye una noción difícil para los alumnos. Aunque se estudió en la primaria, es necesario que se retome en secundaria. Por ello, antes de plantear problemas en que se utilice la densidad del orden de fracciones y decimales, se pueden plantear actividades sobre el orden, como las siguientes:
- Anticipar cuál de las siguientes longitudes expresadas en metros es mayor y, enseguida, trazarlas sobre el piso, midiendo con una cinta métrica: 0.45 m, 0.0190 m, 0.5 m, 0.405 m.
- Ubicar en la recta 0.2, 0.1, 0.19 y 0.195.
- Dado el 0 y el 0.1, ubicar el 1.
- Dado el 0 y el 0.1, ubicar el 0.15.
- Dado el 0.1 y el 0.15, ubicar el 0.
La propiedad de la densidad del conjunto de las fracciones y del conjunto de los decimales se manifiesta en el hecho de que entre cualquier par de números siempre es posible encontrar otro número. Por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 están 0.11, 0.12,…, 0.15, etc.; a la vez, entre 0.11 y 0.12 están 0.111, 0.112, 0.113, 0.114, etcétera.
Esta propiedad no la tienen los números naturales, por ejemplo, entre los números naturales 5 y 6, si bien hay fracciones y decimales, no hay ningún otro número natural.
Una forma de encontrar números entre dos fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a las dadas, con el mismo denominador y, después, si es necesario, con denominadores cada vez más grandes. Por ejemplo, para encontrar una fracción que se ubique entre
14
y
12
, de estas se obtienen las fracciones equivalentes
28
y
48
, y así se determina que
38
se encuentra entre
14
y
12
. Para encontrar fracciones entre
28
y
38
se pueden obtener fracciones equivalentes en dieciseisavos: entre
416
y
616
está
516
. Usando un denominador más grande se obtiene, por ejemplo, que entre
200800
y
300800
están
201800
,
202800
,
203800
, etcétera.
Otra forma de hallar una fracción entre otras dos consiste en sumar los dos números y dividirlos entre 2; lo mismo se hace con números decimales.
La recta numérica constituye un recurso útil para ilustrar esta propiedad. Para facilitar la ubicación de los números se hacen "ampliaciones" de los segmentos de recta que es necesario subdividir.
Para ordenar las fracciones y los números decimales, los alumnos deberán convertir las fracciones en un número decimal y viceversa, dependiendo de lo que sea más conveniente. Se sugiere que estudien algunos ejemplos en los que se comparen números decimales finitos y periódicos.
Después de que los alumnos sepan que es posible encontrar una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados, es importante que observen que los números enteros no tienen esa propiedad.
Uso de TIC
La hoja de cálculo
La hoja de cálculo
La siguiente es una actividad para identificar qué fracciones de un conjunto dado se convierten en fracciones decimales y cuáles no son posible desarrollar con la hoja electrónica de cálculo. Solicite a los alumnos que escriban algunas fracciones en tres columnas usando diferentes formatos. Después de seleccionar algunas celdas de la primera columna, por ejemplo, 10, los alumnos deben darles el formato "fracción", para lo que se sigue la ruta "Formato>Celda>Número>Fracción". Indique que en la segunda columna deben seleccionar el mismo número de celdas que en la primera, dar el formato "decimal" siguiendo la ruta "Formato>Celda>Número>Número", así como que tomen la mayor cantidad de decimales que acepte la hoja de cálculo. En la tercera columna, en el mismo número de celdas que en las dos columnas anteriores, se cambia el formato de los números iniciales para usar fracciones decimales (centésimos o milésimos) mediante la ruta "Formato>Celda>Número>Fracción" y se elige el tipo.
A continuación, pida a los alumnos que escriban en la celda B2 de la segunda columna la fórmula "A2" y, en la celda C2 de la tercera columna, la fórmula "=A2". Para terminar, solicíteles que copien estas fórmulas en las celdas donde se modificó el formato.
Una vez que concluyan lo anterior, solicite que observen que lo que aparece en la tercera columna es solamente una aproximación de la fracción que ingresan en la primera.
Sugerencias de Evaluación
El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.
Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.
Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.
Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.
La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.
Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:
- Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
- Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
- Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.
Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.
En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.
Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.
En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:
- De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
- De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
- De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.
Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.