Aprendizajes esperados
- Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.
- Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.
Orientaciones didácticas
En los cursos anteriores, los alumnos aprendieron a registrar información en tablas de datos, a leer dichas tablas, lo mismo que gráficas circulares, y a interpretar estas últimas. En este grado se introduce la elaboración de gráficas circulares, además de continuar con su lectura e interpretación. Como en los grados anteriores, las actividades incluirán experimentos que harán los alumnos y datos acerca de fenómenos diversos o asuntos de interés que aparecen en los medios.
Un ejemplo de lo anterior es la elaboración de un diagrama circular. Para hacer un diagrama circular es necesario encontrar los ángulos que dividan a la circunferencia de manera proporcional a los valores dados, por ejemplo, si el total de los datos es 50, esto corresponderá al área de la circunferencia. Para calcular el ángulo que corresponde a un dato cuya frecuencia es 20, es necesario establecer una proporción: 20 : 50 :: x : 360°, entonces × =
20x360º50
= 144º. También es útil determinar los porcentajes, por ejemplo, para calcular el porcentaje asociado a 20, se establece que si 20 : 50 :: x : 100, entonces x es 40%. Considerando los datos de los ángulos, se divide en sectores la circunferencia y en cada sector se anotan los porcentajes correspondientes.
Las gráficas circulares se muestran en los medios con frecuencia. Además de que los alumnos entiendan cómo se elaboran, es conveniente que hagan actividades complementarias de lectura e interpretación de los datos y que les señale la importancia de que estén bien elaboradas para no darle a quien las lea una impresión que no refleje con exactitud los datos que se muestran en ella, de modo que distorsione la interpretación.
Las medidas de tendencia central
La media aritmética se ha estudiado ya en los grados anteriores, ahora se retoma para ampliar su significado mediante actividades diseñadas para destacar cada una de las siguientes interpretaciones importantes: reparto equitativo, mejor estimación de la medida real de un objeto que ha sido medido varias veces, número alrededor del cual se acumulan los datos (tendencia central) y representante de un conjunto de datos. Conviene que usted busque una actividad para cada interpretación, de manera que los estudiantes tengan la oportunidad de apreciar cada una de ellas.
La media aritmética se interpreta como el reparto equitativo cuando es necesario repartir, en partes iguales, cantidades diversas reunidas en una totalidad. Un ejemplo de ello es el concepto de ingreso per cápita en economía. En las ciencias experimentales, en cambio, es necesario medir objetos o propiedades y se sabe que, al hacer varias mediciones de un mismo objeto o propiedad, los resultados son medidas generalmente distintas. ¿Cuál es entonces la verdadera medida? La media proporciona la mejor estimación a la verdadera medida. También en situaciones en las que interesa estudiar alguna característica de un objeto o persona (altura, peso, temperatura, etc.) y se toma la medida de varios objetos o personas, siempre hay variabilidad en estas medidas, no obstante, frecuentemente se agrupan alrededor de su media aritmética (por ejemplo, las temperaturas de diversas personas estarán alrededor de 36.5; la altura de los hombres en México estará alrededor de 1.70 m, etc.); en estos casos se dice que la media es una tendencia central de esas medidas.
Finalmente, por las propiedades anteriores, cuando se tiene un conjunto de datos, para reducir su multiplicidad, un buen representante es la media aritmética, así, en lugar de operar con el conjunto, se hace con su representante.
La mediana también se estudió en los grados anteriores y admite las interpretaciones de tendencia central, como estimador de una medida real y como representante de datos. En muchas ocasiones se utiliza la mediana como un mejor representante de los datos e incluso como una mejor estimación de una medida de tendencia central para estos. Lo anterior funciona porque la mediana es más estable en relación con valores atípicos. Si un conjunto de medidas repetidas de un mismo objeto tiene un valor atípico, este puede afectar la estimación si se hace con la media aritmética; en cambio, puede resultar mejor si se hace con la mediana. Para trabajar estas comparaciones, recuerde que es importante introducir actividades en las cuales los alumnos decidan entre la media aritmética, la mediana y la moda como medidas de tendencia central, en las que se muestren conjuntos de datos que no contengan datos atípicos, otros que sí los contengan y algunos más en los que un mismo dato se repita muchas veces. En cada caso pregunte a los alumnos: ¿cuál medida de tendencia central convendría utilizar como representante de esos datos?
Es conveniente revisar las propiedades de la media aritmética y de la mediana, ya que estas permiten comprenderlas y aplicarlas de manera más apropiada en los problemas cuya solución implica dichos conceptos. Nos referimos a propiedades como que la media y la mediana son valores mayores al valor mínimo de los datos y menores al valor máximo; también que la media (mediana) puede ser un valor diferente a cualquiera de los datos de los que proviene y otras más.
En el grado anterior se introdujo el rango de un conjunto de datos y se relacionó con la posible dispersión de los datos. En las actividades que se introduzcan en este grado es importante también que los alumnos calculen el rango y decidan qué tan dispersos están los datos.
Sugerencias de evaluación
El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.
Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.
Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.
Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.
La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.
Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:
- Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
- Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
- Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.
Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.
En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.
Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.
En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:
- De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
- De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
- De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.
Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.