FUNCIONES

Aprendizajes esperados

• Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

Orientaciones didácticas

De la primaria a la secundaria

Desde los primeros grados de primaria, los alumnos han resuelto problemas que implican una relación entre dos conjuntos de cantidades, en la cual interviene una constante aditiva o multiplicativa y de proporcionalidad. Sin embargo, es hasta la secundaria que se presentan explícitamente esas relaciones como procesos de variación, específicamente como procesos en los que las literales involucradas están en una relación funcional. Se retoman los conocimientos anteriores y se extienden al estudio de la variación lineal mediante la utilización sistemática de distintas representaciones matemáticas: tablas de variación, gráficas y expresiones algebraicas. De esta manera se progresa en el uso y la interpretación de las funciones lineales en diversas representaciones.

Antecedentes

Cuando en la primaria se introdujo el plano cartesiano, los alumnos tuvieron la experiencia de localizar puntos en él y de escribir estos en términos de sus coordenadas en el plano. En la secundaria se estudian situaciones que permiten identificar las variables de un fenómeno que se representa mediante una gráfica cartesiana que corresponde a una relación de variación lineal entre dos variables o mediante los datos de una tabla que corresponden a puntos en el plano cartesiano. Primero se introduce de manera intuitiva y después formal la noción de razón o tasa de cambio (la medida en que una variable se modifica con relación a otra; la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio) como una herramienta para comparar tipos de variación lineal. A continuación, se presentan algunos de los principales aspectos que se abordan en 1er grado, así como los tipos de problemas adecuados para hacerlo.

Comparación de distintos tipos de variación lineal y la razón de cambio

A partir de una tabla de datos que represente el comportamiento de un fenómeno cotidiano (la variación de la distancia recorrida por un alumno cuando corre a una velocidad constante —por ejemplo, 7 km por hora— durante cierto tiempo o la variación de la cantidad por pagar dependiendo de la cantidad de lápices que se compran en una papelería, etc.), plantee a los alumnos diversas preguntas para que las respondan en equipo (la distancia recorrida en diferentes lapsos o la cantidad que se debe pagar por distinto número de lápices comprados, por ejemplo), además pídales que identifiquen las variables relacionadas, que representen los datos de la tabla en el plano cartesiano y que respondan qué forma tiene la gráfica que se obtiene al unir los puntos en el mismo. Discuta con los alumnos qué esperarían que pasara si la velocidad del corredor del ejemplo fuera mayor o menor. Es conveniente que ellos interpreten gráficas lineales dadas en términos de las variables relacionadas entre sí.

Proponga problemas que correspondan a gráficas que representen situaciones de variación lineal y no lineal. Ejemplos de estos tipos de variación son la producción de una fábrica a lo largo de los meses de un año o la de alguna población. Puede presentar dos gráficas (una lineal y otra no) que representen respectivamente la producción diaria de bicicletas y de patinetas de una fábrica durante un año, y plantearles a los alumnos las siguientes preguntas: ¿cuál fue el trimestre en el que hubo mayor incremento de producción de bicicletas y patinetas? De los periodos en los que la producción creció, ¿cuál fue en el que el incremento fue menor? ¿Cuál de los dos artículos (bicicletas o patinetas) está teniendo un mayor incremento en su producción? ¿Cómo varía la producción de bicicletas en periodos distintos de un mes? La idea es que los alumnos describan la variación en una relación lineal entre variables como una constante, mientras que en la relación no lineal observen que la variación no es constante.

Solicite a los alumnos que construyan gráficas aproximadas de situaciones descritas verbalmente en las que la variación sea constante, y que relacionen el signo de la variación con el crecimiento o decrecimiento de la literal dependiente cuando la literal independiente aumente. Otros casos particulares interesantes son la tasa de crecimiento de una población (por ejemplo, el número de nacimientos por año) y la aceleración (la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo). Es conveniente que los alumnos trabajen con tablas y gráficas que muestren relaciones de variación lineal que puedan representarse de manera gráfica como rectas que pasan o no por el origen de las coordenadas.

Pendiente e inclinación de la recta

Después, se profundiza en el estudio de estos tipos de variación, de sus gráficas y sus tablas. Los alumnos notarán que su inclinación (pendiente o razón de cambio) es constante. Como se puede observar en la siguiente gráfica, en donde se muestra una situación de variación.

En algunas ciudades, el servicio de taxi es proporcionado por compañías que cobran distintas tarifas.

La compañía A cobra $8.00 por servicio más $3.50 por km. ¿De qué color es la gráfica correspondiente a la compañía A?

• La relación entre distancia y costo de la compañía B es c = 2.5d + 20. ¿De qué color es su gráfica?
• ¿Cuál es la expresión algebraica de la distancia y el costo que corresponde a la compañía C?
• ¿Qué compañía tiene la tarifa más barata por cantidad de kilómetros recorridos? ¿Es la compañía que siempre conviene más utilizar? ¿Por qué?

Es importante relacionar la inclinación de la recta con la noción de razón de cambio en ejemplos particulares, así como reconocerla en la gráfica de la recta que representa la relación entre variables y en la tabla de datos correspondiente. A partir de pares de datos sobre la recta o en la tabla se puede encontrar la expresión algebraica que representa a la razón de cambio. También se debe interpretar el significado de la pendiente en situaciones de variación lineal en distintos contextos.

Finalmente, utilizando la razón de cambio y la ordenada al origen, deduzca con los alumnos la expresión algebraica para las rectas con las que han trabajado (y = ax + b), además de interpretar el significado de los parámetros a y b en la expresión.

Sugerencias de evaluación

El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.

Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.

Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.

Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.

La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.

Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:

1. Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
2. Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
3. Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.

Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.

En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.

Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.

En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:

1. De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
2. De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
3. De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.

Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.