Aprendizajes esperados
- Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.
- Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, solo números positivos).
Orientaciones didácticas
Multiplicación con fracciones y decimales, y división con decimales
En quinto y sexto de primaria, los alumnos multiplicaron números fraccionarios y decimales por números naturales. En este grado conocerán nuevos significados y propiedades de la multiplicación (por ejemplo, que esta no siempre es una operación que agranda, pues no se calcula en todos los casos por medio de una suma repetida), además elaborarán significados para expresiones como "0.75 veces una cantidad" o "
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de una cantidad". Asimismo, los alumnos aplicarán el factor fraccionario o decimal a cantidades que también estén expresadas con fracciones o decimales. Al final se trata la división entre decimales. La división de una fracción entre otra se estudia en segundo de secundaria, a partir de la noción de operador inverso del tema de proporcionalidad. Para construir una significación adecuada de la multiplicación con números fraccionarios y decimales son necesarios varios acercamientos, en uno de ellos se hace el paso de "
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de" a "
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por". Probablemente, los alumnos ya saben calcular tres cuartos de una cantidad dividiendo la cantidad entre cuatro partes y tomando tres de ellas, pero no saben que esas acciones corresponden a multiplicar dicha cantidad. Por ello, se sugiere alternar multiplicadores que sean números naturales, como "3 veces", con multiplicadores fraccionarios del tipo "
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de". Se sugiere plantear un ejemplo como este: Una pista mide 800 m, un corredor da tres vueltas y otro
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de vuelta. Para calcular cuántos metros recorrió el primero, se multiplica tres veces 800 m. Para calcular cuántos metros recorre el que dio
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de vuelta, se divide 800 entre 4 y se multiplica por 3, a esta operación también se le llama multiplicación. Es decir,
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× 800 significa
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de 800. De forma similar, si un corredor da 2
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de vuelta, puede calcularse la distancia total al multiplicar dos veces 800 y sumarle
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de 800. El segundo acercamiento consiste en introducir la multiplicación "por
ab
" como una constante de proporcionalidad, así como aplicar la constante "por 2" consiste en establecer una relación en la que a cada unidad le corresponden dos unidades. Aplicar la constante, por ejemplo, "por
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", significa establecer una relación en la que a cada unidad le corresponden
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de unidad. El contexto de la escala puede ser muy adecuado, por ejemplo, un lado que mide 4 en una figura, mide 3 en una copia a escala. Para averiguar cuánto miden los demás lados puede ser útil establecer que por cada unidad de la figura original deben considerar
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de unidad en la copia, o bien, que todos los lados de la copia miden
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de los lados de la figura original. Con estos acercamientos se hace explícito que
ab
× c significa aplicar a c dos operadores sucesivos: entre b y por a. Estos mismos contextos se usan para introducir la multiplicación de dos fracciones, por ejemplo, si la pista mide
7003
m o, en el contexto de la escala, si otro de los lados del triángulo mide
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. Después de estos acercamientos es posibleconcluir que una multiplicación de fracciones como
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x
74
puede calcularse al dividir y luego multiplicar: se divide
74
entre 5 (el resultado es
720
) y el resultado se multiplica por 3 (
2120
), o también se divide
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entre 4 (
320
) y el resultado se multiplica por 7 (
2120
). Entonces, puede formalizarse la regla de que, al multiplicar dos fracciones, el resultado es una fracción en la que el numerador es el resultado de multiplicar los dos numeradores y el denominador es el resultado de multiplicar los dos denominadores.
Para multiplicar números decimales finitos, pida a los alumnos que elaboren una tabla que represente una situación de proporcionalidad directa, por ejemplo: Una lancha recorre 7.20 m por segundo. ¿Qué distancia recorrerá en 2 segundos? ¿Y en 1.9, 1.8, 1.7,…, 1.1 segundos? ¿Y en 0.9, 0.8, 0.7,…, 0.1 segundos? ¿Por qué unos productos son mayores y otros menores que 7.20?
Para resolver estas operaciones se observa que "por 0.7" equivale a "por
710
" y esto a su vez a "por 7, entre 10". De esta forma, antes de formalizar un algoritmo, para multiplicar por un número decimal finito, por ejemplo, 2.45 × 7.1, se puede multiplicar por su parte entera (2.45 × 7) y sumar el resultado de multiplicar por la parte decimal (2.45 × 0.1), que es lo mismo que multiplicar por la fracción decimal equivalente (2.45 ×
110
).
Esta forma de multiplicar permite justificar el procedimiento en el que, para multiplicar por uno o dos decimales, se puede quitar el punto decimal, multiplicar los números y, posteriormente, colocar el punto decimal en el resultado de forma adecuada.
El estudio de la división entre decimales también conlleva una ruptura con la noción que los alumnos han desarrollado, pues a partir de ahora la división ya no se hace entre un número entero de partes. Además, el cociente ya no será necesariamente menor que el dividendo.
Un primer acercamiento a la división entre decimales se da cuando el cociente es un número natural, por ejemplo, en esta situación: ¿cuántos frascos de 0.125 l se llenarán con 1.75 l? La operación que corresponde (1.75 ÷ 0.125) puede resolverse mediante sumas repetidas de 0.125.
La justificación de la técnica de la división entre decimales requiere que previamente los alumnos establezcan la propiedad según la cual un cociente no se altera cuando se multiplican el dividendo y el divisor por un mismo número (a ÷ b = ka ÷ kb) y que conozcan la técnica para dividir números decimales entre potencias de 10 (10, 100, 1 000,…).
Jerarquía de operaciones y uso de los paréntesis
El estudio de este aspecto tiene el propósito de que los alumnos adviertan la necesidad de establecer una jerarquía de operaciones al hacer cálculos que involucren suma, resta, multiplicación y división, y de que, para ello, aprendan a usar los paréntesis. Se pueden incluir también, en un segundo momento, operaciones que involucren sumas y restas de números con signo, solo cuando ya se haya estudiado lo relacionado con la suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos. En este grado no debe abordarse la multiplicación y división de números negativos ni la operación potencia, ya que eso se hará en el siguiente grado.
La jerarquía de operaciones determina el orden en que estas se efectúan:
- Primero se hacen las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis; si hay varios paréntesis, por ejemplo, unos dentro de otros, se llevan a cabo las operaciones de adentro hacia afuera. Si lo que buscamos es calcular 3 × (10 – (12 – 8)), primero se efectúa la resta 12 – 8, luego la resta 10 – 4 y, finalmente, la multiplicación 3 × 6.
Si hay varias operaciones sin paréntesis, el orden es el siguiente:
- Primero se efectúan las multiplicaciones y las divisiones.
- Luego se llevan a cabo las sumas y las restas.
- Las operaciones que tienen la misma jerarquía se efectúan de izquierda a derecha.
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-
33
-
58
, 50 ÷ 5 ÷ 5, 2.5 + 3.5 × 2 – 0.8.
Una vez que los alumnos conozcan las reglas para jerarquizar, presénteles una serie de operaciones y su resultado con el fin de que coloquen los paréntesis necesarios de manera que las operaciones sean correctas. Es conveniente que en algunos de los ejemplos no sea necesario colocar paréntesis, aunque sea correcto ponerlos.
El uso de las reglas para jerarquizar operaciones y el empleo de paréntesis puede profundizarse después, cuando se estudien expresiones algebraicas como 2n + 3; 5m + 6b – 10 – 4; 4n + 5(n + 6). La jerarquía de operaciones permite establecer que, por ejemplo, en la expresión algebraica 2n + 3, primero se lleva a cabo la multiplicación de la literal n por 2 y luego se suma 3 al resultado; lo mismo se hace en la expresión algebraica 3 + 2n.
Uso de TIC
Es común que los alumnos hagan las operaciones de izquierda a derecha en el orden en el que aparecen o que efectúen primero las operaciones de los extremos. En caso de que en el grupo todos cometan el mismo error y, por lo tanto, no se obtengan resultados distintos para una operación, se propone que estos se verifiquen con una calculadora que tenga en cuenta la jerarquía de operaciones (científica); de esta manera, los alumnos podrán constatar que se obtiene otro resultado. Invítelos a que traten de explicar qué hizo la calculadora. Se espera que estos cuestionamientos los lleven a descubrir las convenciones de la jerarquía de las operaciones. También puede utilizar como apoyo una aplicación de hoja de cálculo.
Sugerencias de evaluación
El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.
Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.
Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.
Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.
La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.
Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:
- Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
- Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
- Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.
Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.
En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.
Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.
En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:
- De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
- De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
- De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.
Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.