Aprendizajes esperados
- Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.
Orientaciones didácticas
En grados anteriores se hicieron experimentos aleatorios y se discutió la importancia de la recolección y del registro de los datos. En este grado se vuelve a destacar la importancia que tiene determinar la población que se estudiará, el tipo de datos que se puede obtener y la forma de recolectarlos. Esta última puede ser mediante una observación, una encuesta o un experimento. Es importante que discuta con los alumnos en qué consiste cada uno de estos métodos y que ellos mencionen algunos ejemplos. Se debe concluir que con el método de obtención de datos por medio de la observación se examinan objetos, personas o eventos sobre los que se quiere saber algo y se toma nota de lo observado. Por otra parte, la encuesta consiste en formular preguntas a diversas personas, cuyas respuestas se anotan y organizan para realizar un análisis ulterior. Por último, en el experimento también se examina una situación, pero además se controla o modifica un aspecto de ella, cuyo efecto se desea conocer, observando tanto el estado original como el resultado de dicha modificación.
En este grado, el objetivo de los experimentos
consiste en introducir a los alumnos a la probabilidad frecuencial y que consideren la importancia que tiene hacer un registro adecuado de los datos. Un ejemplo de actividad para lograr dicho propósito es el siguiente:
- Todas las noches tres hermanos (digamos Alberto, Bruno y Carmela) discuten para ver quién decide el programa de televisión que verán. Para evitar discusiones acuerdan que cada tarde sortearán quién elegirá el programa. Alberto propone que el sorteo consista en lanzar dos monedas: si caen dos águilas, gana él; si cae una y una, gana Bruno; y, si caen dos soles, gana Carmela. La pregunta es ¿todos tiene la misma oportunidad de ganar?
Para decidirlo conviene que los alumnos piensen en las consecuencias de cada propuesta si se hicieran 120 sorteos. ¿Cuál sería la frecuencia absoluta esperada para cada evento y cada distribución propuesta? Es muy posible que lleguen a las previsiones 1 y 2, que se muestran a continuación.
| "Previsión 1" | |||
| "Tabla 1a. Frecuencia esperada si la distribución 1a es cierta" | |||
| "Evento" | "A" | "B" | "C" |
| "Frecuencia absoluta" | 40 | 40 | 40 |
| "Previsión 2" | |||
| Tabla 1b. Frecuencia esperada si la distribución 1b es cierta | |||
| "Evento" | "A" | "B" | "C" |
| "Frecuencia absoluta" | 30 | 60 | 30 |
Las previsiones 1 y 2 son resultados teóricos que indican solo los promedios de los posibles resultados de muchas repeticiones de 120 veces dos monedas cada vez. Esto significa que, al llevar a cabo las experiencias, los resultados se aproximarán a las frecuencias esperadas de la distribución verdadera, pero no necesariamente coincidirán de manera exacta.
Después de ofrecer sus repuestas y discutirlas, conviene hacer el experimento. Para ello, el grupo se puede dividir en diez equipos, cada uno hará doce parejas de lanzamientos y anotará los resultados en una tabla. Se calculará la frecuencia relativa de cada evento y se decidirá si todos tienen la misma oportunidad de ganar, la misma probabilidad.
Este problema se puede generalizar a cuatro hermanos, A, B, C y D, donde la regla de decisión que propone B es que se lancen tres monedas: si caen 0 soles, gana A; si cae exactamente 1 sol, gana B; si caen exactamente 2 soles, gana C; y, finalmente, si caen 3 soles, gana D. ¿Todos tienen la misma oportunidad de ganar? Conviene que —si no surge espontáneamente— se introduzcan los diagramas de árbol como recurso para contar con exactitud todas las posibilidades. Se sugiere que se haga la tabla similar a la que se muestra arriba para definir las probabilidades. Al final se comentan las características de la variable, que en este caso es "el número de soles" al lanzar tres monedas. Otros ejemplos de interés son el lanzamiento de un dado o jugar con una ruleta.
Sugerencias de evaluación
El propósito de la evaluación no consiste solo en asentar una calificación para cada alumno. La evaluación debe ser también una forma de recabar información y evidencias que den cuenta de lo que los estudiantes saben, de las habilidades matemáticas que han desarrollado y de por qué se equivocan o tienen fallas. En este sentido, la evaluación debe brindarle a usted la posibilidad de conocer qué han aprendido sus alumnos, la eficacia de las actividades que les propone y qué puede hacer para mejorar dicho aprendizaje. Esto se logra en diferentes momentos, como durante el desarrollo de la clase, o bien cuando un estudiante pasa al pizarrón a explicar cómo resolvió un problema y usted le plantea preguntas acerca de qué fue lo que hizo para resolverlo, qué entendió y cómo se le ocurrió ese procedimiento.
Identifique lo que los alumnos aprendieron y qué les falta por aprender, esto le permite poner en juego nuevas estrategias que los ayuden a superar esas dificultades de aprendizaje, así como dar la realimentación pertinente, a fin de superar determinada carencia.
Para el alumno, la evaluación debe ser una oportunidad de mostrar y valorar lo que ha aprendido, de asumir su responsabilidad en lo que concierne a su aprendizaje, así como de recibir realimentación que lo ayude a superar las dificultades que se le han presentado para lograrlo.
Por lo anterior, la evaluación en la asignatura Matemáticas tiene un enfoque formativo, esto es que brinda una oportunidad de reflexión y aprendizaje tanto para el alumno como para usted.
La evaluación formativa no excluye el asentar una calificación ni la posibilidad de incorporar momentos con el propósito específico de investigar los logros de los alumnos por medio de algún instrumento para tal efecto.
Dado que es un proceso que se lleva a cabo de manera sistemática durante el desarrollo de las clases, a lo largo de todo el ciclo escolar existen diversas técnicas e instrumentos que son útiles para recabar información. Estos pueden ser:
- Informales, como la observación, la exploración de conocimientos y habilidades a partir de preguntas orales, que se aplican con el apoyo de diarios de clase, registros anecdóticos y listas de control.
- Semiformales, como la resolución de situaciones problemáticas, ejercicios y prácticas en clase, la explicación de soluciones, el desarrollo de tareas en casa, a partir del uso de listas de cotejo, rúbricas, escalas estimativas y portafolios de evidencias.
- Formales, como los exámenes, que conviene analizar con ayuda de listas de cotejo o escalas estimativas.
Cabe resaltar que tanto la tarea —entendida como la actividad, el ejercicio o el problema que se plantea a los alumnos para desarrollar la capacidad matemática— como la forma en que se evalúa deben ser congruentes con el propósito de la evaluación, es decir, con lo que se quiere evaluar. Por ejemplo, si el interés es valorar la forma como los alumnos se involucran en el trabajo en grupo o su habilidad para comprender, comunicar o validar ideas matemáticas, el examen escrito no es la forma adecuada para obtener esta información. De ahí la relevancia de que para evaluar a los alumnos se utilicen técnicas e instrumentos diversos que permitan conocer el avance que van teniendo en los procesos de apropiación de conocimientos y actitudes y en el desarrollo de habilidades.
En relación con los exámenes escritos, se recomienda que estos sean breves y se elaboren con preguntas que resalten lo esencial de un tema, sin darle peso exagerado a las definiciones o a los significados; con una estructura que combine tanto reactivos cerrados como abiertos, donde el estudiante muestre el dominio que tiene sobre un contenido matemático de varias formas. En algunos casos, la calculadora puede ser un recurso que se utilice con el fin de priorizar el tiempo para el desarrollo de procedimientos y cálculos complejos.
Tradicionalmente, el examen se ha utilizado como único instrumento para asignar una calificación a los alumnos y la única información que de él se obtiene es el número de aciertos que consiguen. Esto no da cuenta de aspectos más profundos del proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que además de ello —y como se dijo antes— el examen debe ayudarlo a usted a conocer diferentes respuestas correctas y los errores comunes del grupo.
En particular, este análisis le permitirá detectar cuáles y de qué tipo son las dificultades que tuvieron los alumnos, valorar la pertinencia de las preguntas y tomar decisiones para ayudarlos a seguir avanzando. Es importante tener presentes las líneas de progreso que se describen en las Sugerencias de evaluación generales de este documento, pues estas definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar en lo que respecta al desempeño de los alumnos:
- De resolver problemas con ayuda, a resolverlos de manera autónoma.
- De la justificación pragmática, al uso de propiedades.
- De los procedimientos informales, a los procedimientos expertos.
Finalmente, es importante considerar que la evaluación también representa una fuente de información y de acción para las familias de los alumnos, así como para otros maestros que están o estarán involucrados en su proceso de educación escolar. Informar a las familias sobre los logros, las necesidades de aprendizaje y la forma como pueden ayudar a sus hijos traerá beneficios, ya que se pueden convertir en colaboradores de su aprendizaje. Para otros maestros, los resultados de las evaluaciones dan cuenta del proceso que ha seguido un alumno y de lo que es capaz de hacer, y les facilita tomar decisiones para apoyarlo en los aspectos que necesite superar.